3.5. Уравнения параболического типа

Теоретический минимум

Метод разделения переменных решения смешанной задачи для

одномерного уравнения теплопроводности. Уравнение

теплопроводности относится к уравнениям параболического типа,

описывающим процессы, необратимые во времени. Простейшим

процессом такого типа является охлаждение бесконечного стержня. Задача

заключается в следующем: в начальный момент времени

0t 

температура

неравномерно нагретого стержня задана функцией

   

,0 .u x x

Требуется найти распределение температур для любого

0.t 

Будем

считать, что стержень очень длинный, и можно не учитывать

температурные условия на его концах. Это означает, что граничных

условий нет.

При отсутствии тепловых источников температура

 

,u x t

различных

точек стержня описывается уравнением

2

uu

a

t

x







,

.x  

В уравнении

2

k

a 



, где

k

– коэффициент внутренней

теплопроводности, таким образом,



– плотность вещества из которого

изготовлен стержень,



– теплоемкость вещества,

2

a

характеризует

физические свойства тела.

Применив метод Фурье (см. с. 69–74), получаем решение уравнения в

виде интеграла:

   

 

2

4

1

,.

2

x

at

u x t e d

at









   





Если стержень ограничен с одной стороны, то решение уравнения

2

uu

a

t

x







, удовлетворяющее начальному условию

   

,0u x x

и

краевому условию

   

0, ,u t t

выражается формулой

   

22

44

0

1

,

2

xx

a t a t

u x t e e d

at

 





    





 

2

3

4

2

0

1

.

2

x

t

at

e t d

at





     





Пусть концы тонкого теплопроводящего стержня конечной длины

l

погружены в тающий лед, в результате чего происходит его охлаждение.

Требуется найти функцию распределения температуры

 

,,u x t

которая

является решением одномерного уравнения теплопроводности

2

,

uu

a

t

x







удовлетворяющим начальному

   

,0 ,u x x

 

0,xl

и

однородным граничным условиям

   

0, 0, , 0.u t u l t

Решение уравнения методом разделения переменных имеет вид

 

2

1

, sin ,

ka

t

l

k

kx

u x t C e

l





















где

 

0

2

sin .

l

k

kx

C x dx

ll







Решение задачи о распространении тепла в стержне, концы которого

теплоизолированы (см. с. 56–61), т. е. со следующими краевыми

условиями

0

x x l

uu

xx









, выражается формулой

 

2

0

1

, cos

ka

t

l

k

kx

u x t a e a

l





















,

где

 

0

2

cos ,

l

k

kx

a x dx

ll







 

0

1

.

l

a x dx

l







Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с

помощью преобразования Фурье. Алгоритм построения решения

краевой задачи методом интегральных преобразований состоит в

следующем:

1. Определяем интегральное преобразование по выбранным

переменным искомого решения задачи и краевых условий.

2. Записываем изображение дифференциального уравнения в частных

производных и краевых условий.

3. Решаем полученную задачу. Если решается одномерная задача, то

получаем обыкновенное дифференциальное уравнение.

4. С помощью обратного интегрального преобразования находим

решение задачи.

Распределение температуры в стержне описывается уравнением

2

uu

a

t

x







,

,x   

удовлетворяющее начальному условию

   

, 0 .u x x

1. Находим преобразование Фурье

 

,Ut

по переменной

x

решения

 

,,u x t

а также преобразование Фурье

 

F 

начальной функции из

начального условия

   

,0u x x

:

       

11

, , , .

22

i x i x

U t u x t e dx F x e dx

 



 

    





2. Записываем изображение Фурье уравнения теплопроводности и

начального условия:

 

     

22

,

, , ,0 .

Ut

a U t U F

t



      



3. Решаем задачу Коши для полученного дифференциального

уравнения:

   

22

,.

at

U t F e



  

4. Искомое решение

 

,u x t

находим с помощью обратного

преобразования Фурье:

   

22

1

,,

2

a t i x

u x t F e e d



   



  





или, используя

теорему о свертке,

   

 

2

4

1

,.

2

x

at

u x t e d

at









   





Практический минимум

5А+Б1. Концы тонкого однородного изолированного стержня длиной

3 м, начальная температура которого

   

3,x x x  

поддерживается при

нулевой температуре. Определить температуру стержня в момент времени

0.t 

Распределение температуры в стержне описывается одномерным

уравнением теплопроводности

2

uu

a

t

x







с начальной температурой

     

,0 3 .u x x x x   

Решая методом Фурье разделения переменных, получим

   

3

00

22

sin 3 sin

33

l

k

k x k x

C x dx x x dx

ll



    



   

3 3 2

3

sin cos

33

u x x du x dx

k x k x

dv dx v

k

   





  



 

3

0

33

23

cos 3 2 cos

3 3 3

xx

k x k x

x dx

kk









   









3 2 2

3

cos sin

33

u x du dx

k x k x

dv dx v

k

   









 

3

22

0

3 3 2

2 6 12 3

sin sin cos

3 3 3

x

k x k x k x

dx

k k k k

k





  



    



   







 

3 3 3

3

36 36 72

cos 1 1 1

21

k

k k k

        

   

.

Решение задачи имеет следующий вид:

 

2

21

3

33

1

21

72 1

, sin .

3

21

ka

t

k

kx

u x t e

k

























5Б+С2. Для бесконечного однородного стержня с теплоизолированной

боковой поверхностью с заданной начальной температурой

 

2

,0

x

u x e





рассчитать распределение температуры, описываемой уравнением

2

uu

t

x







.

Используя представление

   

 

2

4

1

,,

2

x

at

u x t f e d

at









  





получаем

 

2

4

1

,.

2

x

t

u x t e e d

t

















Выполним следующие преобразования:

   

2

22

2

4 1 2

44

x t x x

tt

      

   

 

22

2

22

2

4 1 2

41

4 1 4 1

.

4 4 1

2 4 1

xx

t x x

tx

x

tt

      



  





  







Тогда

 

2

41

2 4 1

41

1

,.

2

tx

x

tt

t

u x t e e d

t



  

























В последнем интеграле сделаем замену

 

41

2 4 1

tx

tt

  





,

2,

41

t

dd

t

  



,

 

2

41

1

, 2 .

41

2

x

t

u x t e e d

t



















Известно, что

2

,ed







  



поэтому окончательно получаем

   

2

1

41

2

, 4 1 .

x

t

u x t t e







Задания для самостоятельной работы

5А3. Определить температуру в каждой точке медного стержня

длиной 10 см с нетеплопроводной внешней поверхностью, если на концах

стержня поддерживается температура, равная

0C

, а начальная

температура

2

50sin

x

l



. Для меди известны следующие константы:

1

0,9 кал см с,k



  

3

8,9г см ,



  

1

0,094 кал г .



  

Ответ:

 

2

5

, 50sin , 1,07.

5

a

t

kk

u x t e a













  



5А+Б4. Начальная температура тонкого однородного изолированного

стержня длиной 6 м равна

 

, 0 3,

,0

6 , 3 6.

xx

ux

xx









  



Концы его

поддерживаются при нулевой температуре. Найти температуру стержня в

момент времени

0.t 

Ответ:

 

2

21

6

22

1

1 2 1

24

, sin .

6

21

ka

k

t

k

kx

u x t e

k















  









5А+Б5. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого

совпадает с осью Ox, температура

 

,u u x t

его сечения с абсциссой

x

в

момент времени

t

при отсутствии источника тепла удовлетворяет

уравнению теплопроводности

2

uu

a

t

x







, где

a

– постоянная.

Определить распределение температуры для любого момента времени

t

в

стержне длиной 100 см, если известно начальное распределение

температуры

   

,0 0,01 100 .u x x x

Ответ:

 

2

21

100

33

1

21

800 1

, sin .

100

21

ka

t

k

kx

u x t e

k

























5А6. Найти решение уравнения теплопроводности

2

uu

t

x







,

 

0, ,x

0t 

при начальном условии

 

0

2

,

4

t

x

u x t







,

 

0,x

и

граничных условиях

   

0

, , 0.

xx

u x t u x t

 



Ответ:

 

2

4

1

11

, sin2 .

2

kt

k

u x t kx e

k









5Б7. В области

0,xl

0t 

найти решение уравнения

2

t xx

u a u

 



при

начальном условии

 

,0

x

ux

l



и граничных условиях

 

0, 0,ut

 

,.

t

u l t e





(Для приведения неоднородных граничных условий к

однородным необходимо произвести замену

   

, , .

t

x

u x t v x t e

l





)

Ответ:

 

2

1

2

, sin .

ka

k

t

tt

l

k

x l kx

u x t e e e

ll

k k a l

























  











5Б+С8. Определить распределение температуры в бесконечном

однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью,

описываемое ДУ с ЧП

2

4

uu

t

x







, если начальная температура

 

2

, 0 .

xx

u x e





Ответ:

   

2

1

2

, 1 .

x x t

t

u x t t e









5Б+С9. Определить распределение температуры в бесконечном

однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью,

описываемое ДУ с ЧП

2

uu

t

x







, если начальная температура

 

2

,0 .

x

u x xe





Ответ:

 

2

41

3

,.

41

x

t

x

u x t e

t









5Б+С10. Решить задачу Коши

2

4

uu

t

x







,

 

2

,0 sin .

x

u x x e





Ответ:

   

 

2

4

1

41

2

, 1 sin .

1

xt

t

x

u x t t e

t









